Quadratische Funktionen

    • Quadratische Funktionen

      Hallöle Community :))

      Ich brauche hilfe von euch.

      Ich schreibe demnächst eine Matheklausur über quadratische und lineare Funktionen.


      Wenn sich einer damit auskennt kann er mir ja vielleicht helfen.



      Und zwar hab ich eine Aufgabe die ich nicht verstehe (ich verstehe das ganze Thema nicht).


      Hier ist sie:

      Der Graph einer Funktion f1: f1(x) = (x+2)² - 1 wird vom Graphen von f2: f2(x) = 0,5(x+2)² + 3,5 in den Punkten P1 und P2 geschnitten.

      a) Bestimmen Sie P1 und P2.
      b) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Schnittgeraden.

      (Aus den Buch: Mathematik zur Fachhochschulreife Technik Verlag: Cornelsen | ISBN: 978-3-464-41201-5 )
      (Ich mache mein Fachabitur in der Fachrichtung IT Technik mit einer schulischen Ausbildung zum informationstechnischen Assistenten. Ich gehe in die 11. Klasse)


      Falls einer die Aufgabe versteht und weiß wie das geht, könnte diese Person mir dann vielleicht alles erklären, welche Schritte man machen muss? Es wäre wirklich sehr hilfreich - danke im Vorraus! :)

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    • Habs mal schnell mit Derive gemacht, zur Lösungskontrolle.

      Zu der Rechnung:
      Um Schnittpunkte zwischen zwei Graphen zu berechnen, setzt du einfach beide Funktionen gleich (also f1(x)=f2(x) wie im Bild).
      Also lautet deine Gleichung nun

      Quellcode

      1. (x+2)² - 1 = 0,5(x+2)² + 3,5


      Nun löst du einfach nach x auf. Dafür werden erstmal die Klammern aufgelöst.

      Quellcode

      1. x²+4x+4-1 = 0,5(x²+4x+4)+3,5
      3. x²+4x+3 = 0,5x²+2x+2+3,5
      5. x²+4x+3 = 0,5x²+2x+5,5


      Jetzt bringst du auf die eine Seite das x² und das x und auf die andere die natürlichen Zahlen.

      Quellcode

      1. x²+4x+3 = 0,5x²+2x+5,5 |-0,5x² |-2x |-3
      3. 0,5x²+2x = 2,5 | *2
      5. x²+4x = 5 | q.E. (+4)
      7. x²+4x+4 = 9
      9. (x+2)² = 9

      Sobald du die Xe auf der einen und die natürlichen Zahlen auf der anderen hast, brauchst du die quadratische Ergänzung (oben als "q.E."). Diese ergibt sich aus dem X-Glied (nicht x²) -> X-Wert durch 2, zum Quadrat -> (x/2)² -> (4/2)² = 4 -> Also +4.

      Zum Schluss machst du aus dem linken Glied wieder eine binomische Formel, du bildest also wieder ein Binom.

      Wenn du so weit bist, die Wurzel ziehen.

      Quellcode

      1. √(x+2)² = √9
      3. x+2 = 3 v x+2 = -3 | -2
      5. x1 = -5
      6. x2 = 1

    • Zur b.

      Der Funktionsterm der Schnittgeraden ist nicht anderes als die Gleichung der Geraden, die beide Schnittpunkte schneidet.

      Um diese Gleichung zu finden musst du nur ein lineares Gleichungssystem aufstellen.

      Dafür musst du wissen das die allgemeine Gleichung einer Geraden f(x)=mx+b ist.

      Dabei sind

      Quellcode

      1. f(x)= y - deine y-Koordinate
      2. m - die Steigung der Geraden
      3. x - deine x-Koordinate
      4. b - der y-Achsenabschnitt


      Nun kannst du die Punkte P1(1|8) und P2(-5|8) in die allgemeine Gleichung einsetzen. (P(x|y)) Und alles mit einem linearen Gleichungssystem lösen.

      Quellcode

      1. I 8 = m * 1 + b
      2. II 8 = m * (-5) + b
      5. I
      7. 8 = m * 1 + b | -b
      8. 8 - b = m
      10. I in II
      12. 8 = (8-b)*(-5)+b | Klammer auflösen
      13. 8 = -40 + 5b + b | +40
      14. 48 = 6b | /6
      15. 8=b
      17. und dann b in I
      19. 8-8=m
      21. m=0
      Alles anzeigen

      Der Funktionsterm der Schnittgeraden lautet also (nur noch m und b einsetzen) f(x)=0*x + b = b.

      Das die Steigung null ist kann man auch auf der von Twilight hinzugefügten Grafik erkennen, da eine gerade durch die beiden Punkte parallel zur x-Achse verlaufen würde und somit nicht steigen oder sinken kann.

      Hoffe das konnte dir helfen.

      MfG Driftking

    • x²+4x+3 = 0,5x²+2x+5,5 |-0,5x² |-2x |-3

      0,5x²+2x = 2,5 | *2

      x²+4x = 5 | q.E. (+4)

      x²+4x+4 = 9

      (x+2)² = 9



      Bei der quadratischen Ergänzung.

      Da muss man ja bei x² +4x = 5 von 4x die q.E. machen, also +2²-2². Wenn man -2² rechnet kommt ja -4 raus, also sollte eigentlich anstatt x²+4x+4=9 -> x²+4x+4=1 rauskommen.

    • Scheitelpunkte ausrechnen?
      Entweder Wertetabelle und ablesen oder die Funktion in die Scheitelpunktform bringen. :o

      Schnittpunkte bei 2 Graphen?
      Wurde oben geklärt, Funktionen gleichsetzen. Bei 2 Schnittpunkten hast du 2 X-Werte (wie hier). Diese setzt du dann in die Ursprungsfunktionen ein und du hast den jeweiligen Y-Wert dazu, damit hast du dann auch je einen Punkt statt nur einer Koordinate.

      Position der Graphen?
      Sind damit I, II, III, IV. Quadrant gemeint? Form der Graphen, usw?